Toán 12 Bài 1 Trang 9 Sgk Giải Tích 12

Hướng dẫn giải bài bác §1. Sự đồng biến, nghịch biến chuyển của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ trang bị thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập giải tích gồm trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 1 Trang 9 Sgk Giải Tích 12


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một ít khoảng.

Cho hàm số (y=f(x)) xác định trên $K$.

– Hàm số (y=f(x)) đồng phát triển thành (tăng) trên K nếu

(left{ {eginarray*20c x_1,x_2 in K\ {x_1 f(x_2)).

2. Điều kiện đề nghị để hàm số 1-1 điệu

Cho hàm số (y=f(x)) gồm đạo hàm trên $K$:

– trường hợp (f(x)) đồng trở thành trên $K$ thì (f"(x)geq 0) với mọi (xin K).

– nếu (f(x)) nghịch vươn lên là trên $K$ thì (f"(x)leq 0) với tất cả (xin K).


3. Điều khiếu nại đủ nhằm hàm số solo điệu

Cho hàm số (y=f(x)) tất cả đạo hàm trên K:

– nếu (f"(x)geq 0) với đa số (xin K) cùng (f"(x)=0) chỉ tại một trong những hữu hạn điểm nằm trong K thì (f(x)) đồng đổi mới trên K.

– trường hợp (f"(x)leq 0) với mọi (xin K) và (f"(x)=0) chỉ tại một vài hữu hạn điểm thuộc K thì (f(x)) nghịch biến chuyển trên K.

– nếu (f"(x)=0) với mọi (xin K) thì (f(x)) là hàm hằng trên K.

4. Công việc xét tính đối chọi điệu của hàm số

– bước 1: kiếm tìm tập xác định.

– bước 2: Tính đạo hàm (f"(x)=0). Tìm những điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại kia đạo hàm bởi 0 hoặc không xác định.

– bước 3: chuẩn bị xếp những điểm xi theo thứ tự tăng vọt và lập bảng biến hóa thiên.

– bước 4: Nêu tóm lại về những khoảng đồng biến, nghịch phát triển thành của hàm số.


Dưới đó là phần hướng dẫn trả lời các thắc mắc và bài tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 4 sgk Giải tích 12


Từ đồ gia dụng thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, sút của hàm số (y = cos x) bên trên đoạn (displaystyle left< – pi over 2;,3pi over 2 ight>) và những hàm số (displaystyle y = left| x ight|) trên khoảng (displaystyle left( – infty ; + infty ight)).

*

Trả lời:

♦ Hàm số (y = cos x) trên đoạn (displaystyle left< – pi over 2;,3pi over 2 ight>)

Các khoảng chừng tăng: (displaystyle left( – pi over 2;,0 ight);,left( pi ;,3pi over 2 ight))

Các khoảng tầm giảm: (displaystyle left( 0;pi ight)).


♦ Hàm số (displaystyle y = left| x ight|) trên khoảng (displaystyle left( – infty ; + infty ight))

Khoảng tăng: (displaystyle left< 0, + infty ight))

Khoảng giảm (displaystyle left( – infty ,0 ight>)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 5 sgk Giải tích 12

Xét các hàm số sau cùng đồ thị của chúng:

*

Trả lời:

a) Hàm số: (y = , – x^2 over 2) (H.4a)


*

b) Hàm số: (y = ,1 over x) (H.4b) (H.4b)

*

Hàm số đồng vươn lên là khi dấu của đạo hàm là “+” và nghịch vươn lên là khi vệt của đạo hàm là “-“.

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 7 sgk Giải tích 12

Khẳng định ngược lại với định lí bên trên có đúng không nào ? Nói bí quyết khác, ví như hàm số đồng thay đổi (nghịch biến) bên trên $K$ thì đạo hàm của nó bao gồm nhất thiết cần dương (âm) bên trên đó hay là không ?

Trả lời:

Xét hàm số $y = x^3$ tất cả đạo hàm $y’ = 3x^2 ≥ 0$ với tất cả số thực $x$ và hàm số đồng đổi mới trên toàn bộ $R$. Vậy xác định ngược lại với định lý bên trên chưa kiên cố đúng hay trường hợp hàm số đồng biến hóa (nghịch biến) trên $K$ thì đạo hàm của chính nó không nhất thiết phải dương (âm) bên trên đó.

Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!


Bài tập

hcdnn.com reviews với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài tập giải tích 12 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12 của bài bác §1. Sự đồng biến, nghịch đổi thay của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ trang bị thị hàm số cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 9 sgk Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = 4 + 3x – x^2).

b) (y =frac13 x^3 + 3x^2 – 7x – 2).

Xem thêm: Cách Trang Trí Mâm Cỗ Trung Thu Đẹp Nhất, Những Mâm Cỗ Trung Thu Đẹp

c) (y = x^4 – 2x^2 + 3).

d) (y = -x^3 + x^2 – 5).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 4 + 3x – x^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(y’ = 3 – 2x Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 3-2x=0Leftrightarrow x = frac32).

Với (x=frac32Rightarrow y=frac254)

– Bảng trở thành thiên:

*

Từ bảng biến đổi thiên ta thấy: Hàm số đồng thay đổi trên khoảng ((-infty); (frac32)) cùng nghịch thay đổi trên khoảng tầm ((frac32); (+infty)).

b) Xét hàm số (y =frac13 x^3 + 3x^2 – 7x – 2)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(y’ = x^2 + 6x – 7 Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = – 7 endarray ight..)

Với (x=-7 Rightarrow y=frac2393)

Với (x=1 Rightarrow y=-frac173)

– Bảng phát triển thành thiên:

*

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến hóa trên các khoảng ((-infty) ; -7), (1 ; (+infty)) với nghịch biến chuyển trên khoảng tầm (-7;1).

c) Xét hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(eginarrayl y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\ y’ = 0 Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 0\ x = 1 endarray ight. endarray)

Với $x=-1$ ta có $y=2$.

Với $x=0$ ta gồm $y=3$.

Với $x=1$ ta có $y=2$.

– Bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng biến chuyển thiên ta thấy: Hàm số đồng phát triển thành trên những khoảng ((-1 ; 0), (1 ; +infty)); nghịch thay đổi trên các khoảng ((-infty; -1), (0 ; 1)).

d) Xét hàm số (y = -x^3 + x^2 – 5)

– Tập xác định: (D=mathbbR;)

(eginarrayl y’ = – 3x^2 + 2x\ y’ = 0 Leftrightarrow – 3x^2 + 2x Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = frac23 endarray ight. endarray)

Với (x=0Rightarrow y=-5.)

Với (x=frac23Rightarrow -frac13127.)

– Bảng biến đổi thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta thấy: Hàm số đồng biến chuyển trên khoảng chừng (( 0 ; frac23 )) và nghịch phát triển thành trên những khoảng ((-infty; 0), ( frac23; +infty).)

2. Giải bài xích 2 trang 10 sgk Giải tích 12

Tìm những khoảng đối kháng điệu của những hàm số:

a) (y=frac3x+11-x) ;

b) (y=fracx^2-2x1-x) ;

c) (y=sqrtx^2-x-20) ;

d) (y=frac2xx^2-9).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y=frac3x+11-x)

Tập xác định:(D = mathbbR setminus left 1 ight \) .

(y’=frac4(1-x)^2> 0, forall x eq 1).

Bảng đổi thay thiên:

*

Vậy hàm số đồng thay đổi trên những khoảng: (( -infty; 1), (1 ; +infty)).

b) Xét hàm số (y=fracx^2-2x1-x)

Tập xác định: (D = mathbbR setminus left 1 ight \).

(y’=frac-x^2+2x-2(1-x)^2

3. Giải bài bác 3 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=fracxx^2+1) đồng phát triển thành trên khoảng tầm (-1;1) cùng nghịch biến đổi trên các khoảng ((-infty; -1)) và ((1 ; +infty)).

Bài giải:

Xét hàm số (y=fracxx^2+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR.)

(y’ = left( fracxx^2 + 1 ight)’ = fracx"(x^2 + 1) – (x^2 + 1)’x(x^2 + 1)^2)

(= fracx^2 + 1 – 2x^2(x^2 + 1)^2 = frac1 – x^2(x^2 + 1)^2.)

(y’ = 0 Leftrightarrow frac1 – x^2(x^2 + 1)^2 Leftrightarrow 1 – x^2 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với (x=-1Rightarrow y=-frac12).

Với (x=1Rightarrow y=frac12)

– Bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng vươn lên là thiên ta thấy: Hàm số đồng vươn lên là trên khoảng tầm ((-1; 1)); nghịch đổi mới trên những khoảng ((-infty; -1), (1; +infty).)

4. Giải bài bác 4 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt2x-x^2) đồng biến đổi trên khoảng chừng ((0 ; 1)) cùng nghịch trở thành trên các khoảng ((1 ; 2)).

Bài giải:

Xét hàm số (y=sqrt2x-x^2)

– Tập xác định: (D = left < 0 ; 2 ight >;)

(y’ = frac2 – 2x2sqrt 2x – x^2 = frac1 – xsqrt 2x – x^2 )

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 1.)

– Bảng trở thành thiên:

*

Từ bảng biến đổi thiên ta thấy: Hàm số đồng trở thành trên khoảng tầm (0;1) và nghịch đổi mới trên khoảng (1;2).

Vậy ta gồm điều yêu cầu chứng minh.

5. Giải bài bác 5 trang 10 sgk Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ( an x > x (0 x +fracx^33 (0 x left( 00forall xin left( 0;fracpi 2 ight))

Vậy hàm số luôn đồng vươn lên là trên (left( 0;fracpi 2 ight).)

(Rightarrow forall xin left( 0;fracpi 2 ight) extta có , fleft( x ight)>fleft( 0 ight) \ Leftrightarrow an x-x> an 0-0 \ Leftrightarrow an x-x>0 \ Leftrightarrow an x>x left(đpcm ight).)

b) ( an x>x+fracx^33 left( 00) phải ta có: ( an x+x>0) với ( an x-x>0) (theo câu a) (Rightarrow y’>0,,forall xin left( 0;fracpi 2 ight))

Vậy hàm số (y=gleft( x ight)) đồng thay đổi trên (left( 0;fracpi 2 ight)Rightarrow gleft( x ight)>gleft( 0 ight).)

(Leftrightarrow an x-x-fracx^33> an 0-0-0 \ Leftrightarrow an x-x-fracx^33>0 \ Leftrightarrow an x>x+fracx^33 left(đpcm ight).)

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 9 10 sgk Giải tích 12!